さあ、今日は複素正弦波を使って具体的に離散フーリエ変換の計算の仕方をお伝えします。

離散フーリエ変換の公式

再び、離散フーリエ変換の公式です。

左辺のX(k)は、ある周期の波kに対し計算実施した結果で、全部でN個分のデータとなります。

右辺のx(n)は、”0～N-1の離散フーリエ変換対象の信号”です。 このブログではx(n)を”時刻 0～N-1の時間信号”のイメージで計算してましたが、実際は時刻に限らず、等間隔に並んだ離散信号なら何でもよいのでこの表現がしっくりきます。右辺の計算は、たとえばNが8であれば、”0から7までの８個の離散フーリエ変換対象の信号”に、複素正弦波（この公式では便宜上指数に-が付きますが内積計算に影響ありません）を乗じて各信号との内積を求め、それらをΣ(合計)することを意味します。

離散フーリエ変換公式による計算

N=8の時を例として計算方法をお伝えします。

k=０の時、各要素の計算はこんな感じになります。各要素は複素数になるので、複素平面上の円回転でも表現できます。視覚的に理解いただくために要素の下に掲載しました。

こんな感じになります。ちなみにX(0)のときはeの指数部が常に0になります。

次に他の7個分を計算します。kの値を変えるとこのとおり、回転速度が変わります。どう変わるのか視覚的に示すために複素平面図に矢印で示してみました。一部省略しましたが、kを0→7まで増やしていくとこんな感じになります。

ここで最もお伝えたいことは、kの値が低いほど回転が遅く、周波数も低くなることと、逆にkの値が高いほど回転も速く、周波数は高くなるということです。

三角関数を使わない、シンプルな離散フーリエ変換の計算テクニックとは、このように分析対象の波に対して、低い周波数から少しずつ高いものにずらして複素正弦波との内積を取る。その計算結果から周波数成分を見つけていくというアプローチになります。

私の離散フーリエ変換の公式を使った計算テクニックとは以上のようなものですが、いかがでしたでしょうか？ このブログ全体を通じてディジタル信号処理や離散フーリエ変換について皆さまの関心が高まったり、ご理解が深まれば、大変嬉しく思います。

最後に、信号処理ついてご質問やご相談がありましたら、下記相談フォームにて承ります。信号処理の利活用方法、技術応用による性能UPなど、遠慮なくお伝えください。

狂右衛門（くるえもん）

こんにちは。今、日本のアスリートが国際舞台で躍動していますね。彼らアスリートのフィジカルサポートには可搬式の超音波診断装置が用いられていて、チームドクターが練習場等に診断装置を持ち込み、筋肉やじん帯などを可視化して、治療方針の策定に役立てているそうです。これら診断装置には信号処理技術が使われていますので、わが社の信号処理技術がもしやメダル獲得につながっているかもしれない！などと勝手な想像をしてしまいます笑

さて、これまでの記事でご紹介した、ディジタル信号処理の周波数成分の求め方のおさらいです。

離散フーリエ変換のおさらい

• 正弦波の周波数を少しずつずらして内積を求めれば、全周波数成分が求められる。
• ただし、cosとsinの内積は0(相関なし)になるので、cosと分析対象の内積、sinと分析対象の内積、それぞれの値を求める必要がある。
• cosとsinそれぞれの内積で求めた値が、各周波数成分の大きさである。

ここまでがご理解いただければ離散フーリエ変換の本質はばっちりです。

いままでの記事での内積計算を実践してお分かりいただけたと思うのですが、cosとsinの内積をそれぞれ求めて合計するのは、いかんせん手間がかかります。なので、これをシンプルにする計算テクニックをお伝えします。まず離散フーリエ変換の計算テクニックとして必要な部分を中心に、オイラーの公式、虚数、複素数についてそれぞれ触れ、最後に公式を用いた計算の実践までお伝えいたします。

計算テクニックのポイント

離散フーリエ変換の計算テクニックのポイントは以下の４つです。

• オイラーの公式の活用
• 複素正弦波を導く
• 複素正弦波の回転を視覚的に示す
• 複素正弦波の内積を求める

オイラーの公式の活用

オイラーの公式は、フーリエ変換の計算テクニックにとって強力なツールです。世代によって高校カリキュラムではやっていないそうで、私の時代も範囲外でしたが、次の世代のカリキュラム改革で範囲内になったと聞いたことがあります。

公式は以下のように表されます。

eはネイピア数という定数です（詳しい説明はここでは割愛します）。θは実数(xと記述することもあります）です。オイラーの公式を使うと、右辺のcosとsinの２つの三角関数を、左辺の指数関数１つですっきり表すことができます。虚数jがあるので複素数の理解が多少は必要になりますが、それ以上に式をシンプルにしてくれるメリットがあります。

複素正弦波を導く

まず、オイラーの公式を利用しながら、周期的な波を回転で示す指数関数を導きます。

周波数fとは１秒間にf回同じことを繰り返す周期的な波のことですが、まずこの波を回転で示します。　1秒間に一回グルっと回すとは、360°/1秒=2×180°/1秒=2πfです。（角周波数といいます）

これをオイラーの公式に代入しますと、こうなります。

このときの左辺を、周期的な波を回転で示す指数関数、複素正弦波と呼びます。

複素平面で複素正弦波の回転を示す

次に、この複素正弦波の回転を視覚的イメージするために、縦軸を虚数軸j、横軸を実数軸tとする特殊な平面をご用意しました。これは虚数と実数で成り立つ複素数を理解しやすくするために作られた表現で複素平面と呼びます。

ここに複素正弦波を表すと、図1の感じになります。これを見るとお分かりのように、複素正弦波は複素平面上で、0を中心にして2πftの増加に伴い、

複素平面上の円周をぐるぐると回る周期関数となります。2πftのfの値を増やせば、同じtの変化量(Δt)に対してより大きく回転しますので、周期関数の回転速度もより速く（周波数がより高く）なります。複素正弦波は、指数に虚数がついているため取っつきにくい印象の式ですが、このように複素平面上でぐるぐる回る図にすると理解しやすく感じられたらうれしいです。

いかがでしたか？ 次回は今日の基本情報踏まえ、離散フーリエ変換の公式で複素正弦波との内積を計算していきます。

狂右衛門（くるえもん）