ΔΣ

前章では、ΔΣADCの振る舞いが「フィードバック制御系」と同じ原理で動いていることを説明しました。

ΔΣ ADCの基礎と設計手法 ②― 制御理論から読み解く高精度A/D変換

本章では、そのフィードバックループを構成する具体的なハードウェア要素について整理します。

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第4章　ΔΣADCの構成要素

ΔΣADCは、「少ないアナログ回路で高精度を実現する」という特徴を持っています。
構成要素は大きく 積分フィルタ(積分器)・コンパレータ・ディジタルフィルタ の3つです。
これらがループを形成し、量子化ノイズを制御的に抑圧する仕組みをつくっています。

図 2次1-bit ΔΣADCの構成例
（積分器2段＋1bit量子化器＋ディジタルフィルタで構成される基本モデル）

1. 積分フィルタ(積分器)（Integrator）

積分器は、ΔΣADCのノイズシェーピングを生み出す中心要素です。
入力信号と、安定性を確保するためにa1,a2と重み付けされたフィードバック信号を蓄積し、その結果を次の段へ渡します。

上図にある「z^-1/(1-z^-1)」のブロックが積分器を表しており、ノイズシェーピングを行う次数に応じた数の積分器を搭載します。これが2段構成となると「2次のΔΣ変調器」になります。

積分器の段数（次数）を増やすほど帯域内ノイズは強く抑圧できますが、同時にループ不安定性も増すため、実用範囲は2〜4次が一般的です。

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2. コンパレータ（量子化器）

積分器からのアナログ値は、コンパレータ（量子化器）で1bitディジタル値に変換されます。

ΔΣADCにおける量子化器は、

• アナログ値を1bit（0/1、または＋1/−1）へ変換
• ここで発生する量子化ノイズをループで整形（ノイズシェーピング）

という2つの役割を担います。

構造が単純でばらつきにも強いため、多くのΔΣADCは1bit量子化を採用しますが、高性能用途では2bit〜3bitの量子化器を使う構成もあります。

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3. ディジタルフィルタ

コンパレータ(量子化器)からは高速の1bitデータ列が出力されますが、
このデータは帯域外ノイズを多く含んでおり、そのままでは利用できません。

そこで、ディジタルフィルタが以下の処理を行います：

• LPF（ローパスフィルタ）：高周波ノイズを除去
• Decimation（デシメーション）：サンプリング周波数を下げ、信号帯域だけを抽出

ディジタルフィルタの形式としては、CICフィルタやCIC + FIRフィルタの組み合わせがよく使われ、
性能とハードウェア効率のバランスが取れる構成になっています。

このように、ΔΣADCは、

• 積分器：ノイズを整形する中心要素
• コンパレータ：アナログを1bit化
• ディジタルフィルタ：帯域外ノイズを除去し高精度データを生成

という3つの要素が一体となって、大きなフィードバックループを持つ制御回路の一種として動作しています。

さて、次はΔΣ ADCのシステム設計についてご紹介します。

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第5章　ΔΣADCのシステム設計

◆設計は“手順”がすべて

ΔΣADCの設計では、いきなり回路を作り始めると必ず行き詰まります。その理由は、ΔΣADCが「アナログ回路」「ディジタル処理」「制御理論」が混ざったシステム設計そのものだからです。
したがって最初に、全体構成を決めるための手順をしっかり踏む必要があります。

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① 仕様の決定

ΔΣADCの設計で最初に決めるべきは、
最終的に必要となる 分解能、サンプリングレート、SNR、帯域幅（BW） といった基本仕様です。

ここで決まる数値が、後続の

• OSR（オーバーサンプリング比）
• 変調器の次数
• NTF（Noise Transfer Function）の形状　　にすべて影響します。

仕様決めは「何bitが必要か？」だけではなく、
何Hz帯域が必要で、どの程度のノイズフロアを許容できるのかを含むため、アプリケーション要求と密接に結びついています。

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② オーバーサンプリング比（OSR）・次数の選定

必要な分解能とSNRが決まったら、それを満たすためのOSR（オーバーサンプリング比） と 変調器の積分次数（1次〜4次） を選びます。

一般的には、

• OSRを上げるほどS/N比は改善しやすい
• 積分次数を上げるほど帯域内ノイズを強く抑圧できる（ノイズシェーピングが強くなる）

という関係があります。

ただし、OSRを極端に上げると消費電力やデジタル負荷が増え、次数を上げるとループ安定性が悪化するため、この2つは設計者が慎重にバランスを取る必要があります。（後で詳述します）

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③ ノイズ伝達関数（NTF）計算

OSRと次数が決まったら、NTF（Noise Transfer Function：量子化ノイズがどのように通過するか） を設計します。

NTFの形が、ΔΣ変調器の

• 安定性
• 帯域内ノイズ量
• 雑音シェーピングの強さ
  を決定づけます。

この段階では、シミュレーションツールや数学的解析を用いて安定で目的の性能を満たすNTFを求めることが重要となります。

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④ モデル作成および特性検証（Modeling & Simulation）

NTFまで決まったら、ようやくシミュレータモデルを使い回路を動かす段階に進みます。

• Verilog-A
• MATLAB / Simulink
• Pythonモデリング
• スイッチトキャパシタ回路の抽象モデル

などのシミュレータを使い、ΔΣ変調器のモデルを作成します。

次章では、それぞれの工程（①〜④）を1章ずつ掘り下げて解説していきます。

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さて今日は、ΔΣ ADCの2回目です。ΔΣの理論の肝であるオーバーサンプリング、そしてノイズシェーピングのアプローチを、量子化ノイズとの関係を交えながら詳しく解説します。

前回1回目の記事はこちらです。

ΔΣ ADCの基礎と設計手法 ①― 制御理論から読み解く高精度A/D変換

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第2章　オーバーサンプリング

◆オーバーサンプリングとは

オーバーサンプリングとは、信号の帯域幅よりもはるかに高い周波数でサンプリングすることです。
通常のナイキスト系ADCでは、ナイキスト周波数を考慮し、信号帯域の2倍の周波数でサンプリングを行います。
一方、ΔΣADCでは、数十倍から数百倍もの高い周波数でサンプリングを行います。たとえば、10kHz帯域の信号を扱う場合、ΔΣADCでは100倍の1MHzや、1,000倍の10MHzといったクロックで信号をサンプリングします。

ではなぜ、高い周波数でサンプリングを行うのでしょうか。

・オーバーサンプリングで、ノイズを「薄める」

オーバーサンプリングを行って周波数が変化しても、量子化ノイズの総エネルギーの和は変わるわけではありません。ですからサンプリング周波数が高くなるほど、より広い周波数範囲に量子化ノイズが均等に分布するようになります。つまりノイズが広帯域に拡散し、信号帯域（fs以下）の範囲に含まれるノイズ密度は相対的に小さくなるのです。
これは「ノイズを薄めて信号を取り出しやすくする」と例えれば、わかりやすいかもしれません。

結果的に信号対ノイズ比（S/N比）が向上し、分解能が上がることになります。（但しΔΣADC後段のディジタルフィルタで高域側ノイズをフィルタリングして落とすことが前提です）

・S/N比の改善量(bit数増加)とオーバーサンプリング周波数との関係

オーバーサンプリングによって得られるS/N比の改善量は、サンプリングポイント数に依存します。
おおまかには、オーバーサンプリング周波数を4倍にすると分解能が約1bit向上することが分かっています。2bit増加させたい場合は周波数は4×4=16倍です。ΔΣADCではこれを活用して手っ取り早くbit数増加を実現できます。

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（補足）理解を深めるための補足知識

オーバーサンプリングの効果をより深く理解するには、信号処理の基礎となるウィナーヒンチンの定理とパーセバルの等式の考え方が参考になります。

• ウィナーヒンチンの定理：
  信号の自己相関関数とそのパワースペクトル密度はフーリエ変換の関係にある。
  つまり、ノイズを時間的にランダム化すると、周波数領域では広帯域に分布することを示しています。
• パーセバルの等式：
  信号の全エネルギーは、時間領域と周波数領域で等しい。
  これにより、「サンプリング周波数を上げてもノイズエネルギーの総量は一定」という考えが導かれます。

この2つの原理は、オーバーサンプリングがノイズの総量を変えずに分布を変えるという考え方を支える理論的背景です。
ココでは詳述は控えますが、詳細な数式を理解しなくても、
「時間を細かく刻むほど、ノイズが平均化されて密度が下がる」と捉えれば十分です。

次回は、量子化ノイズを抑えて信号を取り出すもう一つの重要なアプローチである「ノイズシェーピング」について、フィードバック制御の観点から解説します。

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第3章　ノイズシェーピング

次は、S/N比改善のもう一つのアプローチ、ノイズシェーピングについて解説します。

前章で説明したオーバーサンプリングによって、量子化ノイズは広い周波数帯に拡散し、信号帯域内のノイズ密度が下がることを確認しました。
しかし、オーバーサンプリングだけでは、量子化ノイズは帯域全体に一様に分布したままであり、
帯域内のノイズをさらに下げることはできません。
そこで用いられるのが、「ノイズシェーピング（Noise Shaping）」です。

上図の左側は、量子化ノイズが全帯域に均等に広がった状態を表しています。
この状態では、信号帯域（fs以下）にも一定量のノイズが残っています。ノイズシェーピングでは、この信号域内の量子化ノイズをさらに抑圧し、高周波側（fs〜fos付近）へノイズエネルギーを追いやります。
すると、右図に示すように、信号帯域内のノイズが減少します。
このように、ノイズの「量」ではなく「形（周波数分布）」を変えることがノイズシェーピングの目的です。

◆フィードバック制御システムを活用して、ノイズシェーピングを実現

では、どのようにしてこのようなノイズ整形を実現しているのでしょうか。
その鍵となるのが、フィードバック制御システムの原理です。

一般的なフィードバック制御システムでは、入力信号と出力信号の差分（誤差）を取り、その誤差をフィードバックして出力を安定化させます。

G（ゲイン）が十分に大きい場合、入力信号は正確に出力へ伝達され、一方で、出力側に加わったノイズ(擾乱)は1/G[ゲイン]倍に抑えられます。

この関係は、オペアンプやPLL、DC-DCコンバータなど、多くのアナログ制御回路に共通する基本原理です。

ΔΣADCでは、この制御の仕組みを量子化ノイズの抑圧に応用しています。

量子化ノイズは「出力に付加される擾乱」とみなすことができ、高ゲインな積分器をループ内に配置することで、出力側に生じるノイズ成分をフィードバックで打ち消すことが可能になります。
結果として、信号成分は忠実に通過し、ノイズ成分だけが高周波側へ押し出される――
これがノイズシェーピングの基本動作です。

制御理論の観点で表現すると、ΔΣADCループは「Signal Transfer Function（STF）が入力信号を通過させ、Noise Transfer Function（NTF）が量子化ノイズを抑圧して通さない」という構造になっています。
ループ内のフィルタ（積分器）は低域で大きなゲインを持つため、低域の量子化ノイズは大きく減衰し、結果的に帯域内S/N比が劇的に改善します。

オーバーサンプリングによってノイズを広帯域に拡散し、ノイズシェーピングによって信号帯域内のノイズ成分を制御的に削る――　

この二つの効果が重なることで、ΔΣADCは非常に高い分解能を達成しています。ΔΣADCにおけるノイズシェーピングは、フィードバック制御理論をA/D変換に応用した代表例といえます。

この章では、ノイズシェーピングが「量子化ノイズの分布を制御するアプローチ」であり、その実現がフィードバック制御システムに基づいていることを説明しました。次章では、実際のΔΣADCの構成要素――積分器・比較器・ディジタルフィルタなど――を取り上げ、これらのブロックがどのように連携して高精度を実現しているのかを見ていきます。

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第1章　ΔΣ ADCとは

ΔΣ（デルタシグマ）ADCは、少ない回路構成で高精度（16bit以上）なA/D変換を実現できるA/Dコンバータです。基本構成は、積分器・量子化器（コンパレータ）・ディジタルのフィードバック回路から成り立っており、時間的に平均を取りながら精度を高めるという考え方に基づいています。

◆ナイキスト系ADCとΔΣ ADC

いわゆるナイキスト系ADC（SAR型やパイプライン型など）では、アナログ信号を一定周期ごとにサンプリングし、その瞬間の値をディジタル化します。
アナログからディジタルへの変換は高速に出来ますが、20bitクラスの高分解能を安定して得るのは難しく、抵抗やコンデンサのばらつき、リファレンス電圧のわずかな揺らぎが誤差の原因になります。

一方ΔΣADCは、「高速で何度もサンプリングし、平均的に正しい値を求める」方式です。
いわば、時間軸を使って精度を稼ぐ現実的なアプローチといえます。

ナイキスト系ADCが10kHzで直接20bit精度を求めるのに対して、ΔΣADCでは一例として、10MHz（10Msps）の高速クロックで1bitデータを出力し、その大量のビット列を後段のディジタル処理で平均化します。
この結果、最終的に20bit相当の高精度が得られます。

ΔΣ ADCの図にある、黄色いブロック「Digital filter」は、ΔΣADCの精度を支える重要な要素です。
このブロックでは、1bit出力を入力として低域通過（LPF）処理と「デシメーション（Decimation）」を行います。
LPFで高周波ノイズを除去し、Decimationでサンプリングレートを落として信号帯域を整えます。
このように、ΔΣADCは「高速サンプリング＋ディジタル平均化」によって高精度を達成しているのです。

もう一つの特長は、アナログ部の回路が非常に簡潔で安定している点です。ΔΣ変調器の多く見られる構成は、オペアンプを使った2段の積分器と1bitの比較器というシンプルな構成で、部品ばらつきや温度変動の影響を受けにくい構造になっています。
そのため、微細化や低電圧動作が進む現在の半導体プロセスでも扱いやすく、IoTセンサーや医療・計測機器など、低消費電力かつ高精度が求められる分野に広く使われています。

◆素子ノイズと量子化ノイズ

さて、A/Dコンバータ（ADC）の出力信号には、さまざまなノイズが含まれています。
ΔΣADCの技術を理解するまえに、素子ノイズと量子化ノイズの違いを知っておく必要があります。

素子ノイズとは、トランジスタや抵抗などの回路素子がもつ物理的なノイズです。
例えば、MOSFETや抵抗の熱雑音、MOSFETの1/fノイズなどがこれにあたります。
これらはデバイスが存在する限り避けられないもので、物理的ノイズと呼ばれます。

一方で、量子化ノイズは、アナログ信号を有限のディジタル値に変換する際に生じる誤差です。
アナログ入力信号が連続値であるのに対し、ディジタル出力は階段状の離散値でしか表現できないため、その差分が誤差として現れる、システム的なノイズです。

図のように量子化ノイズは±0.5LSBの範囲でランダムに発生し、ADCの分解能が低いほど誤差の幅が大きくなります。逆に分解能を上げ、量子化ノイズを小さくできれば、それだけ高精度なADCが実現できるということになります。

ΔΣADCの設計とは、信号処理と制御理論の考え方で量子化ノイズを小さくすることにあります。
この考え方を実践する上で重要となるアプローチが２つあるので、次章でご紹介します。

◆オーバーサンプリングとノイズシェーピング

ΔΣ ADCにおいて、量子化ノイズを抑えて信号を取り出すアプローチとして、特に重要なものが2つあります。
1つは「オーバーサンプリング（Oversampling）」です。
これは信号帯域よりもずっと高いサンプリング周波数でデータを取ることで、
量子化ノイズを広い周波数範囲に拡散させ、信号帯域内の量子化ノイズ密度を下げる手法です。

2つ目は「ノイズシェーピング（Noise Shaping）」です。
ΔΣ ADCの中には積分器が入っており、フィードバックを通じてノイズ成分の周波数分布を変えます。
その結果、信号帯域内の量子化ノイズを小さくし、高い周波数に追いやることができます。

この「オーバーサンプリング」と「ノイズシェーピング」を組み合わせ、高速なクロックで1bitデータを生成し、ディジタル処理で多bit精度に変換するというのがΔΣ ADCの基本動作になります。

ちなみにこの2つのアプローチはΔΣ ADC以外でも使えるので、理解しておくとご自身の技術の幅も広がります。

さて次は、ΔΣ ADCの根幹を支えるオーバーサンプリングのアプローチを、量子化ノイズとの関係を交えながら詳しく解説します。

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